L'aléatoire, l'insolite, le prévisible

Comprendre le présent, penser le futur // Prévision, prédiction, diagnostics

Quelle est la part de prévisible dans le règne animal ?



 

Les différentes espèces végétales et animales sont présentent depuis des millions d’années et ne cessent d’évoluer. Depuis le 18eme siècle les différentes espèces ont été triées selon une classification naturelle, depuis l'appellation de “règne animal” a été donné à cette grande faune et flore.


Ces espèces végétales et animales sont donc omniprésentes mais savons-nous vraiment pourquoi toutes ses espèces sont là où elles sont à cette instant précis ?


C’est ce que nous allons voir dans ce travail. Tout au long de ce dossier, nous allons étudier les caractères aléatoires et prévisibles de l’évolution du règne animal et ses lois. Nous allons voir les facteurs qui font qu’une espèce se transforme, quelles sont les conditions qui favorisent la survie ou la disparition d’une espèce et la diversité du règne animal que nous connaissons aujourd’hui, pour finir certaines modélisations classiques de l’évolution.


SOMMAIRE

I- Les mutations

A. Définition

B. Les facteurs

    1) L'aléatoire

    2) Les agents mutagènes

    3) L'épigénétique

     

II- Lois du règne animal

A. L'évolution

    1) La selection naturelle selon Darwin

    2) La dérive génétique

B. Le mimétisme : stratégie adaptative d'imitation

     

III- Prévisible et aléatoire

A- Modèle de Hardy-Weinberg

B. Modèle de Wright-Fisher et son algorithme

 

Conclusion

 


 

Sewall Wright (1889 - 1988) est un généticien américain, connu pour sestravaux sur la théorie del’évolution et pour son travail en statistiques. Il a reçu la médaille Darwin en 1980 et le prix Balzan en 1983.



Ronald Aylmer Fisher (1890 - 1962) est un biologiste et statisticien britannique. Il est considéré par Richard Dawkins comme « le plus grand des successeurs de Darwin » et par Anders Hald comme l'homme qui a « presque à lui seul  fondé les statistiques modernes ». Bradley Efron le considère comme le statisticien le plus important du XXe siècle

 

 

Dans ce modèle, la taille de la population est supposée constante au cours du temps, égale à un entier M. La population évolue de génération en génération, à chaque étape tous les individus meurent, et donnent naissance à la génération suivante. Dans ce modèle, tout se passe comme si chaque individu choisissait parmi la population de la génération précédente son père uniformément au hasard, indépendamment du choix des autres membres de la population et des liens de parenté de ses ancêtres ou descendants.

Alors que dans la population de taille infinie les fréquences alléliques sont stables au cours des générations en l'absence de sélection et de mutation (loi des grands nombres), les fréquences alléliques varient aléatoirement dans des populations de taille finie. (Cela est dû à la variabilité dans la distribution des gènes d'une génération à l'autre). Pour permettre un traitement mathématique plus simplifié, le modèle de Wright-Fisher modélise la transmission des gènes d'une génération à l'autre de manière très schématique. Il fait l'hypothèse de générations séparées, ce qui est une simplification considérable du cycle de reproduction. Ici, une population de M individus est représentée par un vecteur de
N = 2M allèles.
On suppose également qu’il n’y a que deux allèles possible, l'allèle A et l'allèle B.
Définissons :
$X_n^N= i =$ nombre d'individus de type A à la génération n avec i ∈ [0;N].
$X_{n+1}^N= j =$ nombre d'individus de type A à la génération n+1 avec j ∈ [0;N].
La fréquence de l'allèle A  a la génération N sera donc $p_i = {i \over N}$
En intégrant les phénomènes de mutation et de sélection la fréquence sera égale à :
Soit $\alpha_1$ et $\alpha_2 $ les probabilités que l'allèle A mute en allèle B et que l'allèle B mute en allèle A
et $s$ l’avantage sélectif conféré à l'allèle A par rapport à l'allèle B.
Si $(X_n^N)_n$ est le processus décrivant le nombre d’allèles A à la génération n, la loi de $(X_n^N)_{n+1}$ sera une loi binomiale de paramètres qui dépendent de la répartition de l’allèle A à la génération n. Si il y a i copies de l’allèle A à la génération n, cette répartition est donnée par :

$p_i = {(1 + s)(i(1-\alpha_1) + (N - i)\alpha_2 \over (1 + s)(i(1-\alpha_1) + (N -i)\alpha_2) + i\alpha_1+ (N -i)(1-\alpha_2)}$
Dans ce cas, $\newcommand{\mychoose}[2]{\bigl({{#1}\atop#2}\bigr)}(X_n^N)_{n+1}$ suit une loi binomiale $\beta(N,p_i)$, et on a

$P_{ij} = \mathbb{P}(X_{n +1}^N = j | X_n^N= i)=\mychoose{N}{j}(p_i)^j(1-p_i)^{N-j}$

$P_{ij}=$ Probabilité de transition de l'état i a l’état j
Par exemple, avec une population de M = 50  individus, on aura donc N = 2M = 100.
Définissons qu’il y a 50 allèles A a la génération n, nous cherchons alors la probabilité qu’a la génération n+1 le nombre d'allèle A soit 60 :
Prenons deux allèles A et B avec une probabilité de mutation de:
$ \alpha_1 = {1 \over 1000}$ et $\alpha_2 = {1 \over 1000}$ et avec un avantage sélectif conféré à A de  s = 2
On aura $P_i = {(1+2)(50(1-{1 \over 1000})+(100-50){1 \over 1000} \over (1+2)(50(1-{1 \over 1000})+(100-50){1 \over 1000})+50{1 \over 1000}+(100-50)(1-{1 \over 1000}} = 0.75$

Calculons la probabilité:
         $P_{ij} =\mychoose{100}{60}(0.75)^{60}(1-0.75)^{100-60}$
                      $ = 0.00036262679164561$

Ce résultat reste très précis et difficilement utilisable dans un cas concret. Pour parer ce problème, nous avons décidé de modéliser cette loi dans un algorithme en php (langage impératif orienté objet):

<?php
function factorielle($nbr)  // fonction qui calcule la factorielle d'un nombre $nbr ($nbr!)
{
   if($nbr === 0) // condition d'arrêt
       return 1;
   else
       return $nbr*factorielle($nbr-1);
}
function BinCoeff($a_iN, $a_iK)  // fonction qui calcul le coefficient binomial de deux nombres $a_iN et $a_iK
{
   // le coefficient binomial est défini par n! / [ (n-k)! * k! ]
   $b = $a_iN - $a_iK;
   return factorielle($a_iN) / (factorielle($b) * factorielle($a_iK));
}
$i = 20;       // Nombre d'allèles A dans la génération n
$s = 2;        // Avantage sélectif conféré à l'allèle A
$p1 = 0.001;    // Probabilité que l'allèle A mute en allele B
$p2 = 0.001;    // Probabilité que l'allèle B mute en allele A
$N = 40;       // Nombre d'individu total
for ($j = 1; $j <= $N; $j++) {
    $o = (1+$s)*($i*(1-$p1)+($N-$i)*$p2); //Calcul des probabilités pour tout j ∈ [0;N]
    $pi = $o/((1+$s)*($i*(1-$p1)+($N-$i)*$p2)+$i*$p1+($N-$i)*(1-$p2));         
    $p = BinCoeff($N,$j)*pow($pi, $j)*pow((1-$pi), ($N-$j));
    echo $p; // On affiche le résultat
 }

Cet algorithme calcule toutes les probabilités d’évolution de $X_n$ en fonction de j (Nous calculons la probabilité que le nombre d'allèle soit j a la generation suivante). A partir de ce résultat, nous pouvons tracer un graphique représentatif de l’évolution possible du nombre d’allèle A en fonction de la probabilité:

Calcul des probabilités :

Nombre d'individu possedant l'allèle A a la generation n

Avantage sélectif conféré a l'allèle A

Probabilité de mutation alpha 1

Probabilité de mutation alpha 2

Nombre d'allèles total

 

AUTEURS et REMERCIEMENTS

BIBLIOGRAPHIE

L'ensemble de ces pages est © copyright 2017 Pauline FAVOT- Tous droits réservés.